Упр.430 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 430. В угол, равный 60°, последовательно вписаны окружности, касающиеся друг друга (рис. 55). Радиус первой окружности равен R1. Найти радиусы R2, R3, …, Яn, … остальных окружностей и показать, что они образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Доказать, что сумма R1 + 2(R2 + R3 + … + Rn + …) равна расстоянию от центра первой окружности до вершины угла. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 430 1012

Обозначим через $$O_n$$ центр $$n$$-й окружности, а через $$A_n$$ — точку касания этой окружности со стороной угла. Тогда $$R_n = O_nA_n$$.

Так как окружности касаются друг друга и обе касаются сторон угла $$60^\circ$$, то центры всех окружностей лежат на биссектрисе угла. Следовательно, угол между прямой $$O_nO_{n+1}$$ и стороной угла равен $$30^\circ$$.

Рассмотрим треугольник $$O_nO_{n+1}B$$, где $$B$$ — проекция центра $$O_n$$ на сторону угла. Тогда

$$O_nB=\frac12\,O_nO_{n+1}=\frac12\,(R_n+R_{n+1}).$$

С другой стороны,

$$O_nB=O_nA_n-A_nB=R_n-R_{n+1}.$$

Приравнивая, получаем

$$R_n-R_{n+1}=\frac12(R_n+R_{n+1}).$$

Отсюда

$$2R_n-2R_{n+1}=R_n+R_{n+1},$$

$$R_n=3R_{n+1}.$$

Значит,

$$q=\frac{R_{n+1}}{R_n}=\frac13<1,$$

то есть радиусы образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

Тогда

$$R_n=R_1q^{\,n-1}=R_1\left(\frac13\right)^{n-1}=\frac{R_1}{3^{n-1}}.$$

Найдём сумму всех радиусов:

$$R_1+R_2+R_3+\cdots=\frac{R_1}{1-\frac13}=\frac32R_1.$$

Следовательно,

$$R_1+2(R_2+R_3+\cdots)=R_1+2\left(\frac32R_1-R_1\right)=2R_1.$$

Эта величина равна расстоянию от центра первой окружности до вершины угла.

Ответ

$$R_n=\frac{R_1}{3^{n-1}}$$, $$q=\frac13$$, $$R_1+2(R_2+R_3+\cdots)=2R_1.$$