Упр.428 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) lim n- > бесконечность (3-2n)/2n;
2) lim n- > бесконечность (3^(n+2) + 2)/3n;
3) lim n- > бесконечность (5n + 1)2/5^2n.

1. $$\lim_{n\to\infty}\frac{3-2^n}{2^n}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3}{2^n}-1\right).$$
   Так как $$\frac{3}{2^n}\to 0,$$ то
   $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3}{2^n}-1\right)=0-1=-1.$$

2. $$\lim_{n\to\infty}\frac{3^{n+2}+2}{3^n}=\lim_{n\to\infty}\left(3^2+\frac{2}{3^n}\right).$$
   Поскольку $$\frac{2}{3^n}\to 0,$$ получаем
   $$\lim_{n\to\infty}\left(9+\frac{2}{3^n}\right)=9.$$

3. $$\lim_{n\to\infty}\frac{(5^n+1)^2}{5^{2n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{5^{2n}+2\cdot 5^n+1}{5^{2n}}.$$
   Разделим каждое слагаемое числителя на $$5^{2n}$$:
   $$\lim_{n\to\infty}\left(1+2\cdot\frac{1}{5^n}+\frac{1}{5^{2n}}\right).$$
   Так как $$\frac{1}{5^n}\to 0$$ и $$\frac{1}{5^{2n}}\to 0,$$ то
   $$\lim_{n\to\infty}\left(1+2\cdot\frac{1}{5^n}+\frac{1}{5^{2n}}\right)=1.$$

Ответ

$$-1;\ 9;\ 1.$$