Упр.424 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) 0,(5); 2) 0,(8); 3) 0,(32); 4) 0,2(5).

1. $$0,(5)=0,555\ldots$$

   Это бесконечная геометрическая прогрессия:

   $$b_1=0,5,\quad q=0,1.$$

   Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0,5}{1-0,1}=\frac{0,5}{0,9}=\frac{5}{9}.$$

2. $$0,(8)=0,888\ldots$$

   Это бесконечная геометрическая прогрессия:

   $$b_1=0,8,\quad q=0,1.$$

   Тогда

   $$S=\frac{0,8}{1-0,1}=\frac{0,8}{0,9}=\frac{8}{9}.$$

3. $$0,(32)=0,323232\ldots=0,32+0,0032+0,000032+\ldots$$

   Это бесконечная геометрическая прогрессия:

   $$b_1=0,32,\quad q=0,01.$$

   Тогда

   $$S=\frac{0,32}{1-0,01}=\frac{0,32}{0,99}=\frac{32}{99}.$$

4. $$0,2(5)=0,25555\ldots=0,2+0,05+0,005+0,0005+\ldots$$

   Сумма бесконечной геометрической прогрессии, начиная с дробной части после запятой:

   $$b_1=0,05,\quad q=0,1.$$

   Тогда

   $$0,2(5)=0,2+\frac{0,05}{1-0,1}=0,2+\frac{0,05}{0,9}=\frac{1}{5}+\frac{1}{18}=\frac{18}{90}+\frac{5}{90}=\frac{23}{90}.$$

Ответ

$$\frac{5}{9};\ \frac{8}{9};\ \frac{32}{99};\ \frac{23}{90}.$$