Упр.422 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если: 1) $$q=-\frac{1}{2}$$, $$b_1=\frac{1}{8}$$; 2) $$q=\frac{1}{3}$$, $$b_5=\frac{1}{81}$$; 3) $$q=-\frac{1}{3}$$, $$b_1=9$$; 4) $$q=-\frac{1}{2}$$, $$b_4=\frac{1}{8}$$.

1. Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии

   $$S=\frac{b_1}{1-q}.$$

   При $$q=-\frac12$$ и $$b_1=\frac18$$ получаем

   $$S=\frac{\frac18}{1-\left(-\frac12\right)}=\frac{\frac18}{\frac32}=\frac18\cdot\frac23=\frac1{12}.$$

2. Используем формулу

   $$b_5=b_1q^4.$$

   Тогда

   $$b_1=\frac{b_5}{q^4}=\frac{\frac1{81}}{\left(\frac13\right)^4}=\frac{\frac1{81}}{\frac1{81}}=1.$$

   Теперь находим сумму:

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac13}=\frac{1}{\frac23}=\frac32.$$

3. При $$q=-\frac13$$ и $$b_1=9$$ имеем

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{9}{1-\left(-\frac13\right)}=\frac{9}{\frac43}=9\cdot\frac34=\frac{27}{4}.$$

4. Используем связь

   $$b_4=b_1q^3.$$

   Тогда

   $$b_1=\frac{b_4}{q^3}=\frac{\frac18}{\left(-\frac12\right)^3}=\frac{\frac18}{-\frac18}=-1.$$

   Находим сумму:

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{-1}{1-\left(-\frac12\right)}=\frac{-1}{\frac32}=-\frac23.$$

Ответ

1) $$\frac1{12}$$; 2) $$\frac32$$; 3) $$\frac{27}{4}$$; 4) $$-\frac23$$.