Упр.419 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей:

1. $$1,\frac{1}{5},\frac{1}{25},\ldots$$;
2. $$\frac{1}{3},\frac{1}{9},\frac{1}{27},\ldots$$;
3. $$-27,-9,-3,\ldots$$;
4. $$-64,-32,-16,\ldots$$.

1. Для последовательности $$1,\ \frac15,\ \frac1{25},\ldots$$ найдём знаменатель:

   $$q=\frac{\frac15}{1}=\frac15,$$

   при этом $$0<q<1.$$ Значит, геометрическая прогрессия бесконечно убывающая.

2. Для последовательности $$\frac13,\ \frac19,\ \frac1{27},\ldots$$:

   $$q=\frac{\frac19}{\frac13}=\frac13,$$

   и снова $$0<q<1.$$ Следовательно, прогрессия бесконечно убывающая.

3. Для последовательности $$-27,\ -9,\ -3,\ldots$$:

   $$q=\frac{-9}{-27}=\frac13,$$

   а значит, $$0<q<1.$$ Следовательно, прогрессия бесконечно убывающая.

4. Для последовательности $$-64,\ -32,\ -16,\ldots$$:

   $$q=\frac{-32}{-64}=\frac12,$$

   и здесь $$0<q<1.$$ Значит, прогрессия бесконечно убывающая.

Ответ

Да, все четыре геометрические прогрессии являются бесконечно убывающими.