Упр.416 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) xn = 1/n+1;
2) xn=1/ корень n;
3) xn = 1/n3;
4) xn = n/(n2+4).

1. $$x_n=\frac{1}{n+1}$$

   Преобразуем:
   $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}$$
   Так как $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0,$$ то
   $$\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}=\frac{0}{1+0}=0.$$

2. $$x_n=\frac{1}{\sqrt{n}}$$

   Запишем:
   $$\frac{1}{\sqrt{n}}=\left(\frac{1}{n}\right)^{\frac12}$$
   Тогда
   $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}\right)^{\frac12}=0.$$

3. $$x_n=\frac{1}{n^3}$$

   Имеем:
   $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^3}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}\right)^3=0.$$

4. $$x_n=\frac{n}{n^2+4}$$

   Разделим числитель и знаменатель на $$n^2$$:
   $$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^2+4}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{4}{n^2}}$$
   Так как $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$$ и $$\lim_{n\to\infty}\frac{4}{n^2}=0,$$ то
   $$\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{4}{n^2}}=\frac{0}{1+0}=0.$$

Ответ

Во всех четырёх случаях $$\lim_{n\to\infty}x_n=0.$$