Упр.415 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 415 Доказать, что если а — рациональное число, а b — иррациональное, то и сумма, и разность чисел а и b являются числами иррациональными. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 415 1012

Подробный ответ

Предположим противное: пусть сумма $$a+b$$ — рациональное число. Обозначим

$$a+b=c,$$

где $$c \in \mathbb{Q}$$. Тогда

$$b=c-a.$$

Так как $$a \in \mathbb{Q}$$ и $$c \in \mathbb{Q}$$, то разность $$c-a$$ тоже рациональна. Получаем, что $$b \in \mathbb{Q}$$, что противоречит условию $$b \notin \mathbb{Q}$$.

Значит, $$a+b \notin \mathbb{Q}$$, то есть сумма $$a+b$$ иррациональна.

Аналогично, пусть разность $$a-b$$ — рациональное число. Тогда

$$a-b=d,$$

где $$d \in \mathbb{Q}$$. Отсюда

$$b=a-d.$$

Поскольку $$a \in \mathbb{Q}$$ и $$d \in \mathbb{Q}$$, то $$a-d \in \mathbb{Q}$$, значит, $$b \in \mathbb{Q}$$. Это снова противоречит условию.

Следовательно, $$a-b \notin \mathbb{Q}$$, то есть разность $$a-b$$ иррациональна.