Упр.412 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) корень ( корень 7 — 2 корень 10 + корень 2) * корень 5);
2) корень (корень 16 — 6 корень 7 + корень 7) * 3);
3) корень (8 + 2 корень 15 — корень 8 — 2 корень 15) * 2 + 7).

1) $$\sqrt{\left(\sqrt{7-2\sqrt{10}}+\sqrt2\right)\cdot \sqrt5}$$

Заметим, что

$$7-2\sqrt{10}=5+2-2\sqrt{5\cdot 2}=(\sqrt5-\sqrt2)^2.$$

Тогда

$$\sqrt{\left(\sqrt{7-2\sqrt{10}}+\sqrt2\right)\cdot \sqrt5}=\sqrt{\left(\sqrt5-\sqrt2+\sqrt2\right)\cdot \sqrt5}=\sqrt{\sqrt5\cdot \sqrt5}=\sqrt5.$$

2) $$\sqrt{\left(\sqrt{16-6\sqrt7}+\sqrt7\right)\cdot 3}$$

Так как

$$16-6\sqrt7=9+7-2\sqrt{9\cdot 7}=(3-\sqrt7)^2,$$

то

$$\sqrt{\left(\sqrt{16-6\sqrt7}+\sqrt7\right)\cdot 3}=\sqrt{\left(3-\sqrt7+\sqrt7\right)\cdot 3}=\sqrt{3\cdot 3}=3.$$

3) $$\sqrt{\left(\sqrt{8+2\sqrt{15}}-\sqrt{8-2\sqrt{15}}\right)\cdot 2+7}$$

Представим подкоренные выражения в виде квадратов:

$$8+2\sqrt{15}=5+3+2\sqrt{5\cdot 3}=(\sqrt5+\sqrt3)^2,$$

$$8-2\sqrt{15}=5+3-2\sqrt{5\cdot 3}=(\sqrt5-\sqrt3)^2.$$

Тогда

$$\sqrt{\left(\sqrt{8+2\sqrt{15}}-\sqrt{8-2\sqrt{15}}\right)\cdot 2+7}$$

$$=\sqrt{\left((\sqrt5+\sqrt3)-(\sqrt5-\sqrt3)\right)\cdot 2+7}$$

$$=\sqrt{2\sqrt3\cdot 2+7}=\sqrt{4\sqrt3+7}.$$

Заметим, что

$$4\sqrt3+7=4+3+2\sqrt{4\cdot 3}=(2+\sqrt3)^2,$$

значит

$$\sqrt{4\sqrt3+7}=2+\sqrt3.$$

Ответ

1) $$\sqrt5$$; 2) $$3$$; 3) $$2+\sqrt3$$.