Упр.402 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 402 При дальномерном методе локации из трёх пунктов А, В и С определяют соответствующие дальности а, b и с до цели М. Найти координаты х, у и z (z > О) точки М в некоторой прямоугольной системе координат в пространстве, если а = 60, b = 60, с = 51, а координаты точек А, В и С следующие: A(0; 0; 0), В(12; 0; 0), С(6; 18; 0). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 402 1012

Подробный ответ

Пусть координаты точки $$M$$ равны $$M(x;y;z)$$, где $$z>0$$.

По формуле расстояния получаем:

$$ \begin{cases} x^2+y^2+z^2=60^2,\\ (x-12)^2+y^2+z^2=60^2,\\ (x-6)^2+(y-18)^2+z^2=51^2. \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$ (x-12)^2-x^2=0 $$
$$ x^2-24x+144-x^2=0 $$
$$ 24x=144 $$
$$ x=6. $$

Подставим $$x=6$$ в первое уравнение:

$$ 6^2+y^2+z^2=3600 $$
$$ y^2+z^2=3564. $$

Теперь подставим $$x=6$$ в третье уравнение:

$$ (6-6)^2+(y-18)^2+z^2=51^2 $$
$$ (y-18)^2+z^2=2601 $$
$$ y^2-36y+324+z^2=2601. $$

Так как $$y^2+z^2=3564$$, получаем:

$$ 3564-36y+324=2601 $$
$$ -36y=-1287 $$
$$ y=35{,}75. $$