Упр.400 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

400. 1) система
x/y+y/x=5/2,
x2+2y2=6;
2) система
1/x-1/y=1/6,
xy2-x2y=6;
3) система
x2-xy+y2=21,
y2-2xy+15=0;
4) система
x2-3xy+2y2=3,
2×2-2xy-y2=-6.

Подробный ответ

Из первого уравнения:
$$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{5}{2}$$
умножим на $$xy$$:
$$ x^2+y^2=\frac{5}{2}xy. $$
Тогда
$$ 2x^2-5xy+2y^2=0. $$
Решим как квадратное уравнение относительно $$x$$:
$$ D=(5y)^2-4\cdot 2\cdot 2y^2=25y^2-16y^2=9y^2. $$
Отсюда
$$ x=\frac{5y\pm 3y}{4}, $$
то есть
$$ x=2y \quad \text{или} \quad x=\frac{y}{2}. $$
Подставим во второе уравнение $$x^2+2y^2=6$$.
1) Если $$x=2y$$, то
$$ 4y^2+2y^2=6,\quad 6y^2=6,\quad y=\pm 1. $$
Тогда $$x=\pm 2$$.
2) Если $$x=\frac{y}{2}$$, то
$$ \frac{y^2}{4}+2y^2=6,\quad \frac{9}{4}y^2=6,\quad y^2=\frac{8}{3}, $$
откуда
$$ y=\pm \frac{2\sqrt6}{3},\quad x=\pm \frac{\sqrt6}{3}. $$
Из первого уравнения:
$$ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{6} $$
получаем
$$ \frac{y-x}{xy}=\frac{1}{6},\quad 6(y-x)=xy. $$
Второе уравнение:
$$ xy^2-x^2y=6 $$
перепишем как
$$ xy(y-x)=6. $$
Подставим $$xy=6(y-x)$$:
$$ 6(y-x)^2=6,\quad (y-x)^2=1, $$
значит
$$ y-x=1 \quad \text{или} \quad y-x=-1. $$
Рассмотрим оба случая.
1) Если $$y=x+1$$, то
$$ 6(y-x)=xy \Rightarrow 6=x(x+1), $$
$$ x^2+x-6=0,\quad x=-3 \text{ или } x=2. $$
Тогда
$$ (-3,-2),\ (2,3). $$
2) Если $$y=x-1$$, то
$$ 6(y-x)=xy \Rightarrow -6=x(x-1), $$
$$ x^2-x+6=0. $$
Дискриминант:
$$ D=1-24=-23<0, $$ действительных решений нет.
Из второго уравнения:
$$ y^2-2xy+15=0 \Rightarrow 2xy=y^2+15,\quad x=\frac{y^2+15}{2y}. $$
Подставим в первое:
$$ x^2-xy+y^2=21. $$
Получаем
$$ \frac{(y^2+15)^2}{4y^2}-\frac{y^2+15}{2}+y^2=21. $$
Умножим на $$4y^2$$:
$$ (y^2+15)^2-2y^2(y^2+15)+4y^4=84y^2. $$
После упрощения:
$$ 3y^4-54y^2+225=0. $$
Обозначим $$t=y^2$$:
$$ 3t^2-54t+225=0, $$
$$ t^2-18t+75=0. $$
$$ D=18^2-4\cdot 75=324-300=24. $$
Но удобнее разложить:
$$ 3t^2-54t+225=3(t-5)(t-15)=0. $$
Значит,
$$ y^2=5 \quad \text{или} \quad y^2=15. $$
Тогда:
$$ y=\pm \sqrt5,\quad x=\pm 2\sqrt5; $$
$$ y=\pm \sqrt{15},\quad x=\pm 4\sqrt{15}. $$
Из первого уравнения:
$$ x^2-3xy+2y^2=3. $$
Второе уравнение умножим на $$-1$$:
$$ -2x^2+2xy+y^2=6. $$
Сложим:
$$ -x^2-xy+3y^2=9. $$
Удобнее выразить $$x$$ из линейной комбинации исходных уравнений. Умножим первое на $$2$$:
$$ 2x^2-6xy+4y^2=6. $$
Сложим со вторым:
$$ 4x^2-8xy+3y^2=0. $$
Рассмотрим как квадратное уравнение относительно $$x$$:
$$ D=(8y)^2-4\cdot 4\cdot 3y^2=64y^2-48y^2=16y^2. $$
Тогда
$$ x=\frac{8y\pm 4y}{8}, $$
то есть
$$ x=\frac{y}{2} \quad \text{или} \quad x=\frac{3y}{2}. $$
Подставим в первое уравнение.
1) Если $$x=\frac{y}{2}$$, то
$$ \frac{y^2}{4}-\frac{3y^2}{2}+2y^2=3, $$
$$ \frac{3}{4}y^2=3,\quad y^2=4,\quad y=\pm 2. $$
Тогда $$x=\pm 1$$.
2) Если $$x=\frac{3y}{2}$$, то
$$ \frac{9y^2}{4}-\frac{9y^2}{2}+2y^2=3, $$
$$ -\frac{y^2}{4}=3,\quad y^2=-12, $$
действительных решений нет.