Упр.40 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

1) система
x+(a-1)y=a,
5x+(3a+1)y=15;
2) система
x-(a+1)y=2a,
ax-6y=8
имеет бесконечно много решений. Найти эти решения.

Подробный ответ

Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} x+(a-1)y=a,\\ 5x+(3a+1)y=15. \end{cases} $$
Чтобы система имела бесконечно много решений, её уравнения должны задавать одну и ту же прямую. Тогда коэффициенты при $$x$$, $$y$$ и свободные члены пропорциональны:
$$ \frac{1}{5}=\frac{a-1}{3a+1}=\frac{a}{15}. $$
Из равенства первых двух дробей получаем:
$$ 3a+1=5(a-1), $$
$$ 3a+1=5a-5, $$
$$ 2a=6,\quad a=3. $$
Проверим:
$$ \frac{a}{15}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}, $$
значит, при $$a=3$$ система действительно имеет бесконечно много решений.
Подставим $$a=3$$ в первое уравнение:
$$ x+2y=3. $$
Тогда все решения можно записать так:
$$ x=3-2y,\quad y \in \mathbb{R}. $$
Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} x-(a+1)y=2a,\\ ax-6y=8. \end{cases} $$
Для бесконечного числа решений коэффициенты должны быть пропорциональны:
$$ \frac{1}{a}=\frac{-(a+1)}{-6}=\frac{2a}{8}. $$
Из равенства первых и последних дробей:
$$ \frac{1}{a}=\frac{2a}{8}=\frac{a}{4}, $$
$$ 4=a^2. $$
Отсюда $$a=2$$ или $$a=-2$$. Проверим условие пропорциональности коэффициентов при $$y$$:
при $$a=2$$
$$ \frac{-(a+1)}{-6}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2},\qquad \frac{1}{a}=\frac{1}{2}, $$
условие выполняется;
при $$a=-2$$
$$ \frac{-(a+1)}{-6}=\frac{1}{-6}\neq \frac{1}{a}=-\frac{1}{2}, $$
условие не выполняется.
Значит, подходит только $$a=2$$.
Подставим $$a=2$$ в первое уравнение:
$$ x-3y=4, $$
откуда
$$ x=4+3y,\quad y \in \mathbb{R}. $$