Упр.399 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) х4 + 2х3 — х2 + 2х + 1 = 0;
2) 2х4 +х8- 10х2 — х + 2 = 0;
3) (х — 1)х(х + 1)(x + 2) = 24;
4) (х + 1)(х + 2)(х + 3)(x + 4) = 3.

1. $$x^4+2x^3-x^2+2x+1=0$$

   Сгруппируем слагаемые:
   $$x^4+3x^3+x^2-x^3+x^2-3x^2-x+3x+1=0$$
   $$x^4+x^2(3x+1)-x^2(x-1)-x(3x+1)+(3x+1)=0$$
   $$x^2(x^2-x+1)+(x^2-x+1)(3x+1)=0$$
   $$\left(x^2+3x+1\right)\left(x^2-x+1\right)=0$$

   Тогда:
   $$x^2+3x+1=0 \quad \text{или} \quad x^2-x+1=0$$

   1) $$x^2+3x+1=0$$
   $$D=3^2-4\cdot 1=9-4=5$$
   $$x_{1,2}=\frac{-3\pm \sqrt5}{2}$$

   2) $$x^2-x+1=0$$
   $$D=1^2-4\cdot 1=1-4=-3<0$$ Корней нет.

2. $$2x^4+x^3-10x^2-x+2=0$$

   Разложим на множители:
   $$2x^4+x^3-10x^2-x+2=(x-2)(x+1)(2x^2+4x-2)$$

   Тогда:
   $$x-2=0 \quad \text{или} \quad x+1=0 \quad \text{или} \quad 2x^2+4x-2=0$$

   Из первых двух множителей получаем:
   $$x=2,\quad x=-1$$

   Решим квадратное уравнение:
   $$2x^2+4x-2=0$$
   $$x^2+2x-1=0$$
   $$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-1)=4+4=8$$
   $$x=\frac{-2\pm \sqrt8}{2}=-1\pm \sqrt2$$

3. $$(x-1)x(x+1)(x+2)=24$$

   Перегруппируем:
   $$(x^2-x)(x^2+3x+2)=24$$
   $$\left(x^2+x-2\right)\left(x^2+x\right)=24$$

   Пусть $$y=x^2+x$$. Тогда:
   $$y(y-2)=24$$
   $$y^2-2y-24=0$$
   $$D=2^2+4\cdot 24=4+96=100$$
   $$y_{1,2}=\frac{2\pm 10}{2}$$
   $$y_1=-4,\quad y_2=6$$

   1) $$x^2+x=-4$$
   $$x^2+x+4=0$$
   $$D=1-16=-15<0$$ Корней нет.

   2) $$x^2+x=6$$
   $$x^2+x-6=0$$
   $$D=1+24=25$$
   $$x_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{2}$$
   $$x_1=-3,\quad x_2=2$$

4. $$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=3$$

   Сгруппируем множители:
   $$(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)=3$$

   Пусть $$y=x^2+5x+4$$. Тогда:
   $$y(y+2)=3$$
   $$y^2+2y-3=0$$
   $$D=2^2+4\cdot 3=4+12=16$$
   $$y_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2}$$
   $$y_1=-3,\quad y_2=1$$

   1) $$x^2+5x+4=-3$$
   $$x^2+5x+7=0$$
   $$D=25-28=-3<0$$ Корней нет.

   2) $$x^2+5x+4=1$$
   $$x^2+5x+3=0$$
   $$D=25-12=13$$
   $$x_{1,2}=\frac{-5\pm \sqrt{13}}{2}$$

Ответ

1) $$\frac{-3-\sqrt5}{2},\ \frac{-3+\sqrt5}{2}$$;
2) $$-1,\ 2,\ -1-\sqrt2,\ -1+\sqrt2$$;
3) $$-3,\ 2$$;
4) $$\frac{-5-\sqrt{13}}{2},\ \frac{-5+\sqrt{13}}{2}$$.