Упр.398 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1. С помощью схемы Горнера разложить по степеням $$x-c$$ многочлен:
   
   1) $$P(x)=x^3-5x^2+6x-7$$, $$c=2$$;
   
   2) $$P(x)=x^4-8x^3-17x^2-5$$, $$c=-2$$.

1) Разложим многочлен $$P(x)=x^3-5x^2+6x-7$$ по степеням $$x-2$$.

Положим $$t=x-2$$, тогда $$x=t+2$$. Подставим:

$$P(x)=(t+2)^3-5(t+2)^2+6(t+2)-7.$$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$P(x)=t^3+6t^2+12t+8-5(t^2+4t+4)+6t+12-7$$

$$P(x)=t^3+t^2-2t-7.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

$$P(x)=(x-2)^3+(x-2)^2-2(x-2)-7.$$

2) Разложим многочлен $$P(x)=x^4-8x^3-17x^2-5$$ по степеням $$x+2$$.

Положим $$t=x+2$$, тогда $$x=t-2$$. Подставим:

$$P(x)=(t-2)^4-8(t-2)^3-17(t-2)^2-5.$$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$P(x)=t^4-8t^3+24t^2-32t+16-8(t^3-6t^2+12t-8)-17(t^2-4t+4)-5$$

$$P(x)=t^4-16t^3+55t^2-60t+7.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

$$P(x)=(x+2)^4-16(x+2)^3+55(x+2)^2-60(x+2)+7.$$

Ответ

1) $$P(x)=(x-2)^3+(x-2)^2-2(x-2)-7$$;

2) $$P(x)=(x+2)^4-16(x+2)^3+55(x+2)^2-60(x+2)+7$$.