Упр.397 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) Р(х) = х4 + 4х3 — 25х2 — 16х + 84;
2) Р(х) = х5 — 2х4 + 3х3 — 10х2 — 40х + 48.

1) Для многочлена $$P(x)=x^4+4x^3-25x^2-16x+84$$ возможные целые корни — делители числа $$84$$: $$\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm7,\pm12,\pm14,\pm21,\pm28,\pm42,\pm84.$$

Проверим подходящие значения схемой Горнера:

$$ \begin{array}{r|rrrrr} 2 & 1 & 4 & -25 & -16 & 84 \\ & & 2 & 12 & -26 & -84 \\ \hline & 1 & 6 & -13 & -42 & 0 \end{array} $$

Значит, $$x=2$$ — корень, и

$$ P(x)=(x-2)(x^3+6x^2-13x-42). $$

Далее проверим целые корни кубического множителя:

$$ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 1 & 6 & -13 & -42 \\ & & 3 & 27 & 42 \\ \hline & 1 & 9 & 14 & 0 \end{array} $$

Следовательно, $$x=3$$ — корень, и

$$ x^3+6x^2-13x-42=(x-3)(x^2+9x+14). $$

Разложим квадратный трёхчлен:

$$ x^2+9x+14=(x+2)(x+7). $$

Тогда

$$ P(x)=(x-2)(x-3)(x+2)(x+7). $$

2) Для многочлена $$P(x)=x^5-2x^4+3x^3-10x^2-40x+48$$ возможные целые корни — делители числа $$48$$. Проверим несколько значений схемой Горнера.

$$ \begin{array}{r|rrrrrr} 1 & 1 & -2 & 3 & -10 & -40 & 48 \\ & & 1 & -1 & 2 & -8 & -48 \\ \hline & 1 & -1 & 2 & -8 & -48 & 0 \end{array} $$

Значит, $$x=1$$ — корень, и

$$ P(x)=(x-1)(x^4-x^3+2x^2-8x-48). $$

Проверим ещё один целый корень для оставшегося многочлена:

$$ \begin{array}{r|rrrrr} 3 & 1 & -1 & 2 & -8 & -48 \\ & & 3 & 6 & 24 & 48 \\ \hline & 1 & 2 & 8 & 16 & 0 \end{array} $$

Следовательно, $$x=3$$ — корень, и

$$ x^4-x^3+2x^2-8x-48=(x-3)(x^3+2x^2+8x+16). $$

Ещё один корень:

$$ \begin{array}{r|rrrr} -2 & 1 & 2 & 8 & 16 \\ & & -2 & 0 & -16 \\ \hline & 1 & 0 & 8 & 0 \end{array} $$

Значит, $$x=-2$$ — корень, и

$$ x^3+2x^2+8x+16=(x+2)(x^2+8). $$

Итак,

$$ P(x)=(x-1)(x-3)(x+2)(x^2+8). $$

Целые корни здесь: $$x=1,\;3,\;-2.$$

Ответ

1) $$-7,\,-2,\,2,\,3$$.

2) $$-2,\,1,\,3$$.