Упр.395 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 395 Доказать, что многочлен х10 + bх9 + сх8 делится на двучлены х + а1 и х + а2у где а1 =/ 0, а2 =/ 0, тогда и только тогда, когда b = а1 + а2, с = а1а2. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 395 1012

Рассмотрим многочлен

$$P(x)=x^{10}+bx^9+cx^8=x^8(x^2+bx+c).$$

Если он делится на двучлены $$x+a_1$$ и $$x+a_2$$, то

$$P(-a_1)=0,\qquad P(-a_2)=0.$$

Так как $$a_1\ne 0$$ и $$a_2\ne 0$$, получаем систему:

$$ \begin{cases} a_1^2-ba_1+c=0,\\ a_2^2-ba_2+c=0. \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$a_1^2-a_2^2-b(a_1-a_2)=0,$$

$$ (a_1-a_2)(a_1+a_2-b)=0.$$

Следовательно,

$$b=a_1+a_2.$$

Подставим это в первое уравнение:

$$c=ba_1-a_1^2=a_1(a_1+a_2)-a_1^2=a_1a_2.$$

Обратно, если $$b=a_1+a_2$$ и $$c=a_1a_2$$, то

$$x^2+bx+c=x^2+(a_1+a_2)x+a_1a_2=(x+a_1)(x+a_2),$$

значит,

$$P(x)=x^8(x+a_1)(x+a_2),$$

то есть многочлен делится на $$x+a_1$$ и $$x+a_2$$.

Ответ

Многочлен $$x^{10}+bx^9+cx^8$$ делится на двучлены $$x+a_1$$ и $$x+a_2$$ тогда и только тогда, когда $$b=a_1+a_2$$, $$c=a_1a_2$$.