Упр.394 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 394. При делении многочлена поочерёдно на двучлены х + 2, х-3, х + 4 в остатке получаются соответственно числа 6, 26, 12. Найти остаток при делении этого многочлена на (х + 2)(х — 3)(х + 4). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 394 1012

Пусть при делении данного многочлена на произведение $$ (x+2)(x-3)(x+4) $$ получается остаток вида

$$R(x)=ax^2+bx+c.$$

Тогда для значений $$x=-2,\;3,\;-4$$ имеем:

$$P(-2)=6,\quad P(3)=26,\quad P(-4)=12.$$

Составим систему:

$$ \begin{cases} 4a-2b+c=6,\\ 9a+3b+c=26,\\ 16a-4b+c=12. \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго и третьего:

$$ \begin{cases} 5a+5b=20,\\ 12a-2b=6. \end{cases} $$

Упростим:

$$ \begin{cases} a+b=4,\\ 6a-b=3. \end{cases} $$

Из первого уравнения $$b=4-a$$. Подставим во второе:

$$ 6a-(4-a)=3 $$

$$ 7a=7,\quad a=1. $$

Тогда

$$ b=4-1=3. $$

Найдём $$c$$ из первого уравнения:

$$ 4\cdot 1-2\cdot 3+c=6 $$

$$ c=8. $$

Следовательно, остаток равен

$$R(x)=x^2+3x+8.$$

Ответ

$$x^2+3x+8$$