Упр.394 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

При делении многочлена поочерёдно на двучлены $$x+2$$, $$x-3$$, $$x+4$$ в остатке получаются соответственно числа 6, 26, 12. Найти остаток при делении этого многочлена на $$(x+2)(x-3)(x+4)$$.

Пусть при делении данного многочлена на произведение $$(x+2)(x-3)(x+4)$$ получается остаток вида

$$R(x)=ax^2+bx+c.$$

Тогда для значений $$x=-2,\;3,\;-4$$ имеем:

$$P(-2)=6,\quad P(3)=26,\quad P(-4)=12.$$

Составим систему:

$$\begin{cases} 4a-2b+c=6,\\ 9a+3b+c=26,\\ 16a-4b+c=12. \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго и третьего:

$$\begin{cases} 5a+5b=20,\\ 12a-2b=6. \end{cases}$$

Упростим:

$$\begin{cases} a+b=4,\\ 6a-b=3. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$b=4-a$$. Подставим во второе:

$$6a-(4-a)=3$$

$$7a=7,\quad a=1.$$

Тогда

$$b=4-1=3.$$

Найдём $$c$$ из первого уравнения:

$$4\cdot 1-2\cdot 3+c=6$$

$$c=8.$$

Следовательно, остаток равен

$$R(x)=x^2+3x+8.$$

Ответ

$$x^2+3x+8$$