Упр.393 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) х + 2 и х-3;
2) х — 4 и х + 5.

Пусть $$P(x)=x^6+bx^5+cx^4=x^4(x^2+bx+c).$$

Чтобы многочлен делился на линейный множитель $$x-a,$$ нужно, чтобы $$P(a)=0.$$

1. Многочлен делится на $$x+2$$ и $$x-3.$$ Тогда

   $$ P(-2)=(-2)^6+b(-2)^5+c(-2)^4=64-32b+16c=0, $$
   $$ P(3)=3^6+b3^5+c3^4=729+243b+81c=0. $$

   Разделим первое уравнение на $$16,$$ второе — на $$81$$:

   $$ 4-2b+c=0, $$
   $$ 9+3b+c=0. $$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$ 5+5b=0 \Rightarrow b=-1. $$

   Подставим в $$4-2b+c=0$$:

   $$ 4-2(-1)+c=0 \Rightarrow c=-6. $$

2. Многочлен делится на $$x-4$$ и $$x+5.$$ Тогда

   $$ P(4)=4^6+b4^5+c4^4=4096+1024b+256c=0, $$
   $$ P(-5)=(-5)^6+b(-5)^5+c(-5)^4=15625-3125b+625c=0. $$

   Разделим первое уравнение на $$256,$$ второе — на $$625$$:

   $$ 16+4b+c=0, $$
   $$ 25-5b+c=0. $$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$ 9-9b=0 \Rightarrow b=1. $$

   Подставим в $$16+4b+c=0$$:

   $$ 16+4\cdot 1+c=0 \Rightarrow c=-20. $$

Ответ

1) $$b=-1,\ c=-6.$$
2) $$b=1,\ c=-20.$$