Упр.392 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)
1) система
x-xy=0,
y2+3xy-4;
2) система
x2-y=0,
x2+y2=5y;
3) система
xy+x-3y=3,
x2+y2=10;
4) система
x+y+xy=11,
x2y+xy2=30.
$$ \begin{cases} x-xy=0,\\ y^2+3xy=4 \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$x(1-y)=0.$$
Значит, либо $$x=0$$, либо $$y=1$$.
1) Если $$x=0$$, то из второго уравнения:
$$y^2=4,\quad y=\pm 2.$$
Получаем точки $$ (0;-2) $$ и $$ (0;2) $$.
2) Если $$y=1$$, то из второго уравнения:
$$1+3x=4,\quad 3x=3,\quad x=1.$$
Получаем точку $$ (1;1) $$.
$$ \begin{cases} x^2-y=0,\\ x^2+y^2=5y \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$y=x^2.$$
Подставим во второе:
$$x^2+(x^2)^2=5x^2,$$
$$x^4-4x^2=0,$$
$$x^2(x^2-4)=0.$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=\pm 2$$.
Тогда:
при $$x=0$$ имеем $$y=0$$;
при $$x=\pm 2$$ имеем $$y=4$$.
Получаем решения $$ (0;0) $$, $$ (-2;4) $$, $$ (2;4) $$.
$$ \begin{cases} xy+x-3y=3,\\ x^2+y^2=10 \end{cases} $$
Первое уравнение преобразуем:
$$xy+x-3y-3=0,$$
$$x(y+1)-3(y+1)=0,$$
$$ (x-3)(y+1)=0.$$
Значит, либо $$x=3$$, либо $$y=-1$$.
1) Если $$x=3$$, то из второго уравнения:
$$9+y^2=10,\quad y^2=1,\quad y=\pm 1.$$
Получаем точки $$ (3;1) $$ и $$ (3;-1) $$.
2) Если $$y=-1$$, то из второго уравнения:
$$x^2+1=10,\quad x^2=9,\quad x=\pm 3.$$
Получаем точки $$ (-3;-1) $$ и $$ (3;-1) $$.
$$ \begin{cases} x+y+xy=11,\\ x^2y+xy^2=30 \end{cases} $$
Второе уравнение запишем так:
$$xy(x+y)=30.$$
Обозначим $$s=x+y$$, $$p=xy$$. Тогда
$$ \begin{cases} s+p=11,\\ sp=30 \end{cases} $$
Отсюда $$s$$ и $$p$$ — корни уравнения:
$$t^2-11t+30=0,$$
$$ (t-5)(t-6)=0.$$
Значит, $$\{s,p\}=\{5,6\}$$.
1) Если $$x+y=5$$ и $$xy=6$$, то
$$t^2-5t+6=0,$$
$$ (t-2)(t-3)=0,$$
откуда $$x=2$$, $$y=3$$ или $$x=3$$, $$y=2$$.
2) Если $$x+y=6$$ и $$xy=5$$, то
$$t^2-6t+5=0,$$
$$ (t-1)(t-5)=0,$$
откуда $$x=1$$, $$y=5$$ или $$x=5$$, $$y=1$$.
Ответ
1) $$ (0;-2),\ (0;2),\ (1;1) $$;
2) $$ (0;0),\ (-2;4),\ (2;4) $$;
3) $$ (-3;-1),\ (3;1),\ (3;-1) $$;
4) $$ (1;5),\ (5;1),\ (2;3),\ (3;2) $$.
