Упр.388 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 388. Уравнение x3 — 9×2 + ах + b = 0 имеет корни х1 = 1, x2 = 5. Найти а, b и третий корень этого уравнения. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 388 1012

Так как числа $$x_1=1$$ и $$x_2=5$$ — корни уравнения $$x^3-9x^2+ax+b=0,$$ то подставим их в многочлен.

При $$x=1$$ получаем:

$$1-9+a+b=0,$$

откуда

$$a+b=8.$$

При $$x=5$$ получаем:

$$125-225+5a+b=0,$$

то есть

$$5a+b=100.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$ \begin{aligned} 5a+b-(a+b)&=100-8,\\ 4a&=92,\\ a&=23. \end{aligned} $$

Тогда

$$b=8-a=8-23=-15.$$

Подставим найденные значения в уравнение:

$$x^3-9x^2+23x-15=0.$$

Проверим разложение на множители:

$$x^3-9x^2+23x-15=(x-1)(x-5)(x-3).$$

Следовательно, третий корень:

$$x_3=3.$$

Ответ

$$a=23,\quad b=-15,\quad x_3=3.$$