Упр.387 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 387. Уравнение ах3 — 2×2 — 5x + b = 0 имеет корни х1 = 1, x2 = -2. Найти а, b и третий корень этого уравнения. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 387 1012

Подставим данные корни в уравнение $$ax^3-2x^2-5x+b=0.$$

Так как $$x_1=1,$$ получаем:

$$a-2-5+b=0,$$
$$a+b=7.$$

Так как $$x_2=-2,$$ имеем:

$$a(-2)^3-2(-2)^2-5(-2)+b=0,$$
$$-8a-8+10+b=0,$$
$$-8a+b+2=0,$$
$$b=8a-2.$$

Решим систему:

$$ \begin{cases} a+b=7,\\ b=8a-2. \end{cases} $$

Подставим $$b=8a-2$$ в первое уравнение:

$$a+8a-2=7,$$
$$9a=9,$$
$$a=1.$$

Тогда

$$b=8\cdot 1-2=6.$$

Подставим найденные значения в уравнение:

$$x^3-2x^2-5x+6=0.$$

Разложим на множители:

$$x^3-2x^2-5x+6=(x-1)(x^2-x-6)=(x-1)(x-3)(x+2).$$

Следовательно, третий корень:

$$x_3=3.$$

Ответ

$$a=1,\quad b=6,\quad x_3=3.$$