Упр.386 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

1) 9×3 + 12×2-10x + 4 = 0;
2) x4 + x3 — 5×2 + x — 6 = 0;
3) x5 + 3×4 + 2×8 + бх2 + 2x + 6 = 0;
4) x5 — 2×4 — 3×3 + 6×2 — 4х + 8 = 0.

Подробный ответ

$$9x^3+12x^2-10x+4=0$$
Проверим корень $$x=-2$$:
$$9(-2)^3+12(-2)^2-10(-2)+4=-72+48+20+4=0.$$
Значит,
$$9x^3+12x^2-10x+4=(x+2)(9x^2-6x+2).$$
Решаем квадратное уравнение:
$$9x^2-6x+2=0,$$
$$D=(-6)^2-4\cdot 9\cdot 2=36-72=-36<0.$$
Действительных корней у него нет, поэтому единственный действительный корень исходного уравнения:
$$x=-2.$$
$$x^4+x^3-5x^2+x-6=0$$
Проверим корень $$x=2$$:
$$2^4+2^3-5\cdot 2^2+2-6=16+8-20+2-6=0.$$
Тогда
$$x^4+x^3-5x^2+x-6=(x-2)(x^3+3x^2+x+3).$$
Сгруппируем кубический многочлен:
$$x^3+3x^2+x+3=x^2(x+3)+1(x+3)=(x+3)(x^2+1).$$
Получаем:
$$x^4+x^3-5x^2+x-6=(x-2)(x+3)(x^2+1).$$
Так как $$x^2+1=0$$ не имеет действительных решений, то
$$x=-3,\;2.$$
$$x^5+3x^4+2x^3+6x^2+2x+6=0$$
Сгруппируем слагаемые:
$$x^5+3x^4+2x^3+6x^2+2x+6=x^4(x+3)+2x^2(x+3)+2(x+3).$$
Тогда
$$x^5+3x^4+2x^3+6x^2+2x+6=(x+3)(x^4+2x^2+2).$$
Рассмотрим уравнение
$$x^4+2x^2+2=0.$$
Положим $$t=x^2$$, тогда
$$t^2+2t+2=0,$$
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot 2=4-8=-4<0.$$
Действительных корней нет, значит
$$x=-3.$$
$$x^5-2x^4-3x^3+6x^2-4x+8=0$$
Проверим корень $$x=2$$:
$$2^5-2\cdot 2^4-3\cdot 2^3+6\cdot 2^2-4\cdot 2+8=32-32-24+24-8+8=0.$$
Тогда
$$x^5-2x^4-3x^3+6x^2-4x+8=(x-2)(x^4-3x^2-4).$$
Решим уравнение
$$x^4-3x^2-4=0.$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-3t-4=0,$$
$$t_1=-1,\quad t_2=4.$$
Так как $$t=x^2\ge 0$$, подходит только $$t=4$$:
$$x^2=4,\quad x=\pm 2.$$