Упр.385 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 385. Числа х1,2 = 1 +- корень 3 являются корнями уравнения х3 + ах2 + bх — 2 = 0, где а и b — рациональные числа. Найти а, b и третий корень этого уравнения. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 385 1012

Так как числа $$x_{1,2}=1\pm \sqrt{3}$$ являются корнями уравнения

$$x^3+ax^2+bx-2=0,$$

то подставим их в уравнение.

Для $$x=1+\sqrt{3}$$ получаем:

$$ (1+\sqrt{3})^3+a(1+\sqrt{3})^2+b(1+\sqrt{3})-2=0. $$

Раскроем скобки:

$$ 10+6\sqrt{3}+a(4+2\sqrt{3})+b(1+\sqrt{3})-2=0. $$

Для $$x=1-\sqrt{3}$$ получаем:

$$ (1-\sqrt{3})^3+a(1-\sqrt{3})^2+b(1-\sqrt{3})-2=0. $$

Раскроем скобки:

$$ 10-6\sqrt{3}+a(4-2\sqrt{3})+b(1-\sqrt{3})-2=0. $$

Сложим эти уравнения:

$$ (10+6\sqrt{3})+(10-6\sqrt{3})+a\bigl((4+2\sqrt{3})+(4-2\sqrt{3})\bigr)+b\bigl((1+\sqrt{3})+(1-\sqrt{3})\bigr)-4=0, $$

$$ 16+8a+2b=0, $$
$$ 4a+b=-8. $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$ (10+6\sqrt{3})-(10-6\sqrt{3})+a\bigl((4+2\sqrt{3})-(4-2\sqrt{3})\bigr)+b\bigl((1+\sqrt{3})-(1-\sqrt{3})\bigr)=0, $$

$$ 12\sqrt{3}+4a\sqrt{3}+2b\sqrt{3}=0, $$
$$ 6+2a+b=0. $$

Решаем систему:

$$ \begin{cases} 4a+b=-8,\\ 2a+b=-6. \end{cases} $$

Вычитая второе уравнение из первого, получаем:

$$ 2a=-2,\qquad a=-1. $$

Тогда

$$ 2(-1)+b=-6,\qquad b=-4. $$

Теперь найдём третий корень. По теореме Виета для уравнения

$$ x^3+ax^2+bx-2=0 $$

произведение корней равно

$$ x_1x_2x_3=2. $$

Подставим найденные корни:

$$ (1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})x_3=2, $$
$$ (1-3)x_3=2, $$
$$ -2x_3=2, $$
$$ x_3=-1. $$

Проверка:

$$ x^3-x^2-4x-2=(x-1-\sqrt{3})(x-1+\sqrt{3})(x+1). $$

Ответ

$$a=-1,\quad b=-4,\quad x_3=-1.$$