Упр.383 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 383. Проверить, что x1 = 1 — корень уравнения x3 — (1 — корень 5)x2 — (1 + корень 5)x + 1 = 0. Найти остальные корни этого уравнения. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 383 1012

Проверим, что $$x=1$$ — корень многочлена

$$x^3-(1-\sqrt5)x^2-(1+\sqrt5)x+1.$$

Подставим $$x=1$$:

$$ 1-(1-\sqrt5)-(1+\sqrt5)+1=1-1+\sqrt5-1-\sqrt5+1=0. $$

Значит, $$x-1$$ — множитель данного многочлена. Разделим многочлен на $$x-1$$:

$$ x^3-(1-\sqrt5)x^2-(1+\sqrt5)x+1=(x-1)(x^2+\sqrt5x-1). $$

Тогда уравнение сводится к системе множителей:

$$ (x-1)(x^2+\sqrt5x-1)=0. $$

Отсюда либо $$x=1$$, либо

$$ x^2+\sqrt5x-1=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=(\sqrt5)^2-4\cdot1\cdot(-1)=5+4=9. $$

Тогда

$$ x=\frac{-\sqrt5\pm3}{2}. $$

Ответ

$$1,\ \frac{-\sqrt5-3}{2},\ \frac{-\sqrt5+3}{2}$$