Упр.382 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 382. Проверить, что х1 = 1 и х2 = -2/3 —корни уравнения 6×4 — 11×3 — 13×2 + 10х + 8 = 0. Найти остальные корни этого уравнения. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 382 1012

Проверим, что $$x_1=1$$ и $$x_2=-\frac{2}{3}$$ — корни уравнения

$$6x^4-11x^3-13x^2+10x+8=0.$$

Подставим $$x=1$$:

$$6\cdot 1^4-11\cdot 1^3-13\cdot 1^2+10\cdot 1+8=6-11-13+10+8=0.$$

Подставим $$x=-\frac{2}{3}$$:

$$6\left(-\frac{2}{3}\right)^4-11\left(-\frac{2}{3}\right)^3-13\left(-\frac{2}{3}\right)^2+10\left(-\frac{2}{3}\right)+8=0.$$

Значит, $$x-1$$ и $$3x+2$$ — множители многочлена. Разложим его на множители:

$$6x^4-11x^3-13x^2+10x+8=(x-1)(3x+2)(2x^2-3x-4).$$

Теперь решим квадратное уравнение:

$$2x^2-3x-4=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot(-4)=9+32=41.$$

Тогда

$$x=\frac{3\pm\sqrt{41}}{4}.$$

Следовательно, все корни уравнения:

$$x=1,\quad x=-\frac{2}{3},\quad x=\frac{3-\sqrt{41}}{4},\quad x=\frac{3+\sqrt{41}}{4}.$$

Ответ

$$1;\ -\frac{2}{3};\ \frac{3-\sqrt{41}}{4};\ \frac{3+\sqrt{41}}{4}.$$