Упр.380 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1. Найти частное $$M(x)$$ и остаток $$R(x)$$ от деления многочлена $$P(x)$$ на многочлен $$Q(x)$$:
   1) $$P(x)=4x^3+3x^2-1,\quad Q(x)=2x^2+x-1$$;
   2) $$P(x)=x^3-3x^2,\quad Q(x)=2x^2+5$$;
   3) $$P(x)=3x^4+7x^3-22x^2-x-7,\quad Q(x)=x^3+2x^2-4x$$;
   4) $$P(x)=2x^4+3x^3-x,\quad Q(x)=x^2+x+1$$.

1. Делим $$4x^3+3x^2-1$$ на $$2x^2+x-1$$:

   $$4x^3+3x^2-1-(4x^3+2x^2-2x)=x^2+2x-1$$
   $$x^2+2x-1-(x^2+\tfrac12x-\tfrac12)=\tfrac32x-\tfrac12$$

   Значит, $$M(x)=2x+\tfrac12,$$ $$R(x)=\tfrac32x-\tfrac12.$$

2. Делим $$x^3-3x^2$$ на $$2x^2+5$$:

   $$x^3-3x^2-\left(\tfrac12x^3+\tfrac52x\right)=-\tfrac52x^2-\tfrac52x$$
   $$-\tfrac52x^2-\tfrac52x-\left(-\tfrac54x^2-\tfrac{25}{4}\right)=-\tfrac52x+\tfrac{15}{2}$$

   Значит, $$M(x)=\tfrac12x-\tfrac32,$$ $$R(x)=-\tfrac52x+\tfrac{15}{2}.$$

3. Делим $$3x^4+7x^3-22x^2-x-7$$ на $$x^3+2x^2-4x$$:

   $$3x^4+7x^3-22x^2-x-7-(3x^4+6x^3-12x^2)=x^3-10x^2-x-7$$
   $$x^3-10x^2-x-7-(x^3+2x^2-4x)=-12x^2+3x-7$$

   Значит, $$M(x)=3x+1,$$ $$R(x)=-12x^2+3x-7.$$

4. Делим $$2x^4+3x^3-x$$ на $$x^2+x+1$$:

   $$2x^4+3x^3-x-(2x^4+2x^3+2x^2)=x^3-2x^2-x$$
   $$x^3-2x^2-x-(x^3+x^2+x)=-3x^2-2x$$
   $$-3x^2-2x-(-3x^2-3x-3)=x+3$$

   Значит, $$M(x)=2x^2+x-3,$$ $$R(x)=x+3.$$

Ответ

1) $$M(x)=2x+\tfrac12,\ R(x)=\tfrac32x-\tfrac12$$;
2) $$M(x)=\tfrac12x-\tfrac32,\ R(x)=-\tfrac52x+\tfrac{15}{2}$$;
3) $$M(x)=3x+1,\ R(x)=-12x^2+3x-7$$;
4) $$M(x)=2x^2+x-3,\ R(x)=x+3$$.