Упр.377 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

(x2+y2)(x-y)=13,
xy(x-y)=6;
2) система
4(x3+y3)=9x2y2,
4(x2+y2)=9x2y2-8xy.

1. Пусть $$a=x+y,$$ $$b=xy.$$ Тогда

   $$x^2+y^2=a^2-2b,$$ $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=a(a^2-3b).$$

2. Из второго уравнения системы

   $$4(x^2+y^2)=9x^2y^2-8xy$$

   получаем

   $$4(a^2-2b)=9b^2-8b,$$

   $$4a^2=9b^2,$$

   $$b=\pm \frac{2}{3}a.$$

3. Первое уравнение даёт

   $$4(x^3+y^3)=9x^2y^2,$$

   то есть

   $$4a(a^2-3b)=9b^2.$$

   С учётом $$4a^2=9b^2$$ имеем

   $$4a(a^2-3b)-4a^2=0,$$

   $$4a(a^2-3b-a)=0.$$

4. Рассмотрим случаи.

   1) $$a=0.$$ Тогда $$b=0,$$ значит

   $$x+y=0,\quad xy=0,$$

   откуда $$x=0,\ y=0.$$

   2) $$b=-\frac{2}{3}a.$$ Тогда

   $$a^2-3\left(-\frac{2}{3}a\right)-a=0,$$

   $$a^2+a=0,$$

   $$a(a+1)=0.$$

   При $$a=-1$$ получаем $$b=\frac{2}{3},$$ но уравнение $$x+y=-1,\ xy=\frac{2}{3}$$ не имеет действительных решений.

   3) $$b=\frac{2}{3}a.$$ Тогда

   $$a^2-3\cdot \frac{2}{3}a-a=0,$$

   $$a^2-3a=0,$$

   $$a(a-3)=0.$$

   При $$a=3$$ имеем $$b=2,$$ значит

   $$x+y=3,\quad xy=2.$$

   Тогда

   $$t^2-3t+2=0,$$

   $$t=1 \text{ или } t=2.$$

   Следовательно, $$\{x,y\}=\{1,2\}.$$

Ответ

$$(0;0),\ (1;2),\ (2;1).$$