Упр.376 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

376. система
2х2 — ху — у2 -10x — 8y — 12 = 0,
2х2 + 3ху + у2 + х- у — 6 = 0.

Преобразуем уравнения системы, выделяя их как квадратные относительно y.

$$2x^2-xy-y^2-10x-8y-12=0$$
$$y^2+(x+8)y+(10x+12-2x^2)=0.$$

Тогда

$$D_1=(x+8)^2-4(10x+12-2x^2)=9x^2-24x+16=(3x-4)^2.$$

Корни этого уравнения:

$$y=\frac{-(x+8)\pm(3x-4)}{2}.$$

Получаем:

$$y_1=\frac{-x-8-3x+4}{2}=-2x-2,$$
$$y_2=\frac{-x-8+3x-4}{2}=x-6.$$

Аналогично для второго уравнения:

$$2x^2+3xy+y^2+x-y-6=0$$
$$y^2+(3x-1)y+(2x^2+x-6)=0.$$

Тогда

$$D_2=(3x-1)^2-4(2x^2+x-6)=x^2-10x+25=(x-5)^2.$$

Корни:

$$y=\frac{-(3x-1)\pm(x-5)}{2}.$$

Получаем:

$$y_1=\frac{-3x+1-x+5}{2}=-2x+3,$$
$$y_2=\frac{-3x+1+x-5}{2}=-x-2.$$

Теперь приравниваем возможные значения y из первого и второго уравнений:

$$-2x-2=-x-2 \Rightarrow x=0,\quad y=-2.$$

$$x-6=-2x+3 \Rightarrow 3x=9 \Rightarrow x=3,\quad y=-3.$$

$$x-6=-x-2 \Rightarrow 2x=4 \Rightarrow x=2,\quad y=-4.$$

Случай

$$-2x-2=-2x+3$$

не имеет решений.

Ответ

$$ (0;\,-2),\ (2;\,-4),\ (3;\,-3) $$