Упр.375 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

x2 — 6х — 3у -1 = 0,
у2 + 2х + 9у +14 = 0.

Сложим уравнения системы:

$$ x^2-6x-3y-1+x^2+2x+9y+14=0 $$

$$ 2x^2-4x+6y+13=0 $$

Выразим $$y$$:

$$ 6y=-2x^2+4x-13, \qquad y=\frac{-2x^2+4x-13}{6}. $$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$$ \left(\frac{-2x^2+4x-13}{6}\right)^2+2x+9\cdot \frac{-2x^2+4x-13}{6}+14=0. $$

Умножим на $$36$$:

$$ (-2x^2+4x-13)^2+72x+54(-2x^2+4x-13)+504=0. $$

После упрощения получаем:

$$ x^4-12x^3+61x^2-132x+100=0. $$

Разложим на множители:

$$ x^4-12x^3+61x^2-132x+100=(x-2)^2(x^2-8x+25). $$

Так как $$x^2-8x+25=(x-4)^2+9>0$$ при любых $$x$$, то действительных корней у него нет. Значит,

$$ x=2. $$

Найдём $$y$$:

$$ y=\frac{-2\cdot 2^2+4\cdot 2-13}{6}=\frac{-13}{6}. $$

Проверим подстановкой в исходную систему:

$$ 2^2-6\cdot 2-3\cdot\left(-\frac{13}{6}\right)-1=0, $$

$$ \left(-\frac{13}{6}\right)^2+2\cdot 2+9\cdot\left(-\frac{13}{6}\right)+14=0. $$

Следовательно, найденная пара удовлетворяет системе.

Ответ

$$\left(2;\,-\frac{13}{6}\right)$$