Упр.374 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 374. Автобус из пункта А и автомобиль из пункта В отправляются одновременно и осуществляют безостановочное движение с постоянными скоростями между пунктами А и В. Через 42 мин после начала движения произошла их первая встреча, а через 2 ч 34 мин после начала движения автомобиль первый раз обогнал автобус. Через какое время после начала движения автобус и автомобиль впервые окажутся одновременно в пункте A? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 374 1012

Подробный ответ

Обозначим скорости автобуса и автомобиля через $$x$$ и $$y$$ км/ч, а расстояние между пунктами $$A$$ и $$B$$ — через $$S$$ км.

Через $$42$$ мин после начала движения произошла первая встреча, значит

$$\frac{42}{60}(x+y)=S,$$

то есть

$$\frac{7}{10}(x+y)=S.$$

Через $$2$$ ч $$34$$ мин автомобиль впервые обогнал автобус. Это значит, что к этому моменту автомобиль прошёл на одну длину пути между пунктами больше, чем автобус:

$$\left(2+\frac{34}{60}\right)(y-x)=S.$$

Так как $$2+\frac{34}{60}=\frac{77}{30},$$ получаем

$$\frac{77}{30}(y-x)=S.$$

Приравняем выражения для $$S$$:

$$\frac{77}{30}(y-x)=\frac{7}{10}(x+y).$$

Умножим на $$30$$:

$$77(y-x)=21(x+y),$$

$$77y-77x=21x+21y,$$

$$56y=98x,$$

$$y=\frac{7}{4}x.$$

Пусть впервые оба окажутся одновременно в пункте $$A$$ через $$t$$ часов после начала движения. Тогда автобус за это время пройдет целое число длин $$S$$, а автомобиль — на одну длину больше:

$$tx=2kS,$$

$$ty=(2k+3)S,$$

где $$k\in \mathbb{Z}.$$

Тогда

$$\frac{tx}{4}=S,$$

а значит

$$t=\frac{4S}{x}.$$

Из равенства $$\frac{y}{x}=\frac{7}{4}$$ получаем

$$\frac{2k+3}{2k}=\frac{7}{4}.$$

Решим:

$$8k+12=14k,$$

$$6k=12,$$