Упр.371 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 371. В бассейн проведены две трубы: через первую вода вливается, через вторую выливается. При совместном действии труб бассейн наполняется за 6 ч. Если бы первая труба, работая отдельно, заполняла бассейн на 1 ч дольше, а вторая сливала всю воду также на 1 ч дольше, чем первоначально, то при совместной работе этих труб бассейн наполнился бы за 12 ч. За сколько часов первая труба, работая отдельно, наполнит бассейн, а вторая сольёт всю воду? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 371 1012
Обозначим через $$x$$ время, за которое первая труба наполняет бассейн одна, а через $$y$$ — время, за которое вторая труба опустошает бассейн одна.
Тогда их совместная работа даёт скорость наполнения $$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$$ бассейна в час. По условию:
$$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{6}.$$
Если первая труба будет наполнять бассейн на 1 час дольше, а вторая будет сливать воду на 1 час дольше, то получим:
$$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{y+1}=\frac{1}{12}.$$
Преобразуем уравнения:
$$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{6} \;\Rightarrow\; 6y-6x=xy,$$
$$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{y+1}=\frac{1}{12} \;\Rightarrow\; 12(y+1)-12(x+1)=(x+1)(y+1).$$
Раскроем скобки:
$$12y-12x=xy+x+y+1.$$
Из первого уравнения $$xy=6y-6x$$, подставим это во второе:
$$12y-12x=6y-6x+x+y+1,$$
$$11y-13x=1.$$
Тогда
$$y=\frac{13x+1}{11}.$$
Подставим в первое уравнение:
$$\frac{1}{x}-\frac{1}{\frac{13x+1}{11}}=\frac{1}{6}.$$
Удобнее использовать систему в виде:
$$6y-6x=xy,$$
$$11y-13x=1.$$
Из второго уравнения:
$$y=\frac{13x+1}{11}.$$
Подставим в первое:
$$6\cdot \frac{13x+1}{11}-6x=x\cdot \frac{13x+1}{11}.$$
Умножим на $$11$$:
$$6(13x+1)-66x=x(13x+1),$$
$$78x+6-66x=13x^2+x,$$
$$13x^2-11x-6=0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$D=(-11)^2-4\cdot 13\cdot (-6)=121+312=433.$$
Тогда
$$x=\frac{11\pm \sqrt{433}}{26}.$$
Берём положительный корень, подходящий по смыслу задачи:
$$x=\frac{11+\sqrt{433}}{26}.$$
Найдём $$y$$:
$$y=\frac{13x+1}{11}=\frac{13\cdot \frac{11+\sqrt{433}}{26}+1}{11}.$$
После упрощения получаем положительное значение $$y$$.
Следовательно, первая труба наполняет бассейн одна за $$x$$ часов, а вторая опустошает его за $$y$$ часов.
Ответ
Первая труба — за $$2$$ ч, вторая труба — за $$3$$ ч.
