Упр.369 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

x+2y=3y2,
2x+y=3×2;
2) система
x2+x+xy=8,
y2+y+xy=4.

Подробный ответ

Решим систему
$$ \begin{cases} x+2y=3y^2,\\ 2x+y=3x^2. \end{cases} $$
Из первого уравнения выразим $$x$$:
$$x=3y^2-2y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$ 2(3y^2-2y)+y=3(3y^2-2y)^2. $$
$$ 6y^2-4y+y=27y^4-36y^3+12y^2. $$
$$ 27y^4-36y^3+6y^2+3y=0. $$
$$ 3y(9y^3-12y^2+2y+1)=0. $$
Разложим многочлен на множители:
$$ 3y(y-1)(9y^2-3y-1)=0. $$
Тогда
$$ y=0,\quad y=1,\quad 9y^2-3y-1=0. $$
Для квадратного уравнения:
$$ D=(-3)^2-4\cdot 9\cdot(-1)=9+36=45. $$
$$ y=\frac{3\pm\sqrt{45}}{18}=\frac{1\pm\sqrt5}{6}. $$
Найдём соответствующие значения $$x$$ по формуле $$x=3y^2-2y$$:
при $$y=0$$: $$x=0$$;
при $$y=1$$: $$x=1$$;
при $$y=\frac{1+\sqrt5}{6}$$: $$x=\frac{1-\sqrt5}{6}$$;
при $$y=\frac{1-\sqrt5}{6}$$: $$x=\frac{1+\sqrt5}{6}$$.
Решим систему
$$ \begin{cases} x^2+x+xy=8,\\ y^2+y+xy=4. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$ x^2+y^2+x+y+2xy=12. $$
$$ (x+y)^2+(x+y)-12=0. $$
Пусть $$t=x+y$$. Тогда
$$ t^2+t-12=0, $$
$$ (t+4)(t-3)=0. $$
Следовательно, $$t=-4$$ или $$t=3$$.
1) Если $$x+y=-4$$, то $$x=-4-y$$. Подставим во второе уравнение:
$$ y^2+y+y(-4-y)=4, $$
$$ -3y=4, $$
$$ y=-\frac43,\quad x=-\frac83. $$
2) Если $$x+y=3$$, то $$x=3-y$$. Подставим во второе уравнение:
$$ y^2+y+y(3-y)=4, $$
$$ 4y=4, $$
$$ y=1,\quad x=2. $$