Упр.368 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

(x-y)(x2+y2)=65,
(x+y)(x2-y2)=5;
2) система
x3+4y=y3+16x,
1+y2=5(1+x2).

Подробный ответ

Рассмотрим систему
$$\begin{cases} (x-y)(x^2+y^2)=65,\\ (x+y)(x^2-y^2)=5. \end{cases}$$
Разделим первое уравнение на второе:
$$\frac{(x-y)(x^2+y^2)}{(x+y)(x^2-y^2)}=\frac{65}{5}=13.$$
Так как $$x^2-y^2=(x-y)(x+y),$$ получаем
$$x^2+y^2=13(x+y)^2=13(x^2+2xy+y^2).$$
Тогда
$$12x^2+26xy+12y^2=0,$$
или
$$6x^2+13xy+6y^2=0.$$
Рассматриваем это как квадратное уравнение относительно $$x$$:
$$6x^2+13yx+6y^2=0.$$
Дискриминант:
$$D=(13y)^2-4\cdot 6\cdot 6y^2=25y^2.$$
Тогда
$$x=\frac{-13y\pm 5y}{12}.$$
Получаем два случая:
$$x=-\frac{3y}{2} \quad \text{или} \quad x=-\frac{2y}{3}.$$
1) Если $$x=-\frac{3y}{2},$$ то из второго уравнения:
$$\left(-\frac{3y}{2}+y\right)\left(\frac{9y^2}{4}-y^2\right)=5,$$
$$-\frac{y}{2}\cdot \frac{5y^2}{4}=5,$$
$$-\frac{5}{8}y^3=5,$$
$$y^3=-8,$$
$$y=-2,$$
$$x=3.$$
2) Если $$x=-\frac{2y}{3},$$ то
$$\left(-\frac{2y}{3}+y\right)\left(\frac{4y^2}{9}-y^2\right)=5,$$
$$\frac{y}{3}\cdot \left(-\frac{5y^2}{9}\right)=5,$$
$$-\frac{5}{27}y^3=5,$$
$$y^3=-27,$$
$$y=-3,$$
$$x=2.$$
Рассмотрим систему
$$\begin{cases} x^3+4y=y^3+16x,\\ 1+y^2=5(1+x^2). \end{cases}$$
Первое уравнение преобразуем:
$$x^3-y^3=16x-4y,$$
$$x^3-y^3-16x+4y=0,$$
$$x(x^2-16)-y(y^2-4)=0.$$
Второе уравнение:
$$y^2-5x^2=4.$$
Из первого уравнения удобно выразить
$$y=\frac{x^2-16}{5x}, \quad x\ne 0.$$
Подставим во второе:
$$1+\left(\frac{x^2-16}{5x}\right)^2=5(1+x^2).$$
После преобразований получаем:
$$31x^4+33x^2-64=0.$$
Обозначим $$t=x^2$$:
$$31t^2+33t-64=0.$$
Дискриминант:
$$D=33^2+4\cdot 31\cdot 64=9025=95^2.$$
Тогда
$$t_1=\frac{-33+95}{62}=1,\quad t_2=\frac{-33-95}{62}<0.$$ Значит, $$x^2=1,\quad x=\pm 1.$$
Если $$x=1,$$ то
$$y=\frac{1-16}{5\cdot 1}=-3.$$
Если $$x=-1,$$ то
$$y=\frac{1-16}{5\cdot (-1)}=3.$$