Упр.367 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

x3/y+xy=10,
y3/x+xy=5/2;
2) система
x3/y+xy=5,
y3/x+xy=10/3.

Подробный ответ

Рассмотрим систему
$$\begin{cases} \dfrac{x^3}{y}+xy=10,\\ \dfrac{y^3}{x}+xy=\dfrac{5}{2}. \end{cases}$$
Обозначим $$xy=t.$$ Тогда
$$\dfrac{x^3}{y}=10-t,\qquad \dfrac{y^3}{x}=\dfrac{5}{2}-t.$$
Перемножим уравнения:
$$ \left(10-t\right)\left(\dfrac{5}{2}-t\right)=\dfrac{x^3}{y}\cdot\dfrac{y^3}{x}=x^2y^2=t^2. $$
Получаем
$$ 25-10t-\dfrac{5}{2}t+t^2=t^2, $$
$$ 25-\dfrac{25}{2}t=0,\qquad t=2. $$
Значит, $$xy=2.$$
Подставим в первое уравнение:
$$ \dfrac{x^3}{y}+2=10,\qquad \dfrac{x^3}{y}=8. $$
Так как $$y=\dfrac{2}{x},$$ то
$$ \dfrac{x^3}{2/x}=8,\qquad \dfrac{x^4}{2}=8,\qquad x^4=16. $$
Отсюда
$$x=\pm 2.$$
Тогда
$$ y=\dfrac{2}{x}, $$
поэтому
$$x=2 \Rightarrow y=1,\qquad x=-2 \Rightarrow y=-1.$$
Рассмотрим систему
$$\begin{cases} \dfrac{x^3}{y}+xy=5,\\ \dfrac{y^3}{x}+xy=\dfrac{10}{3}. \end{cases}$$
Обозначим $$xy=t.$$ Тогда
$$\dfrac{x^3}{y}=5-t,\qquad \dfrac{y^3}{x}=\dfrac{10}{3}-t.$$
Перемножим уравнения:
$$ \left(5-t\right)\left(\dfrac{10}{3}-t\right)=\dfrac{x^3}{y}\cdot\dfrac{y^3}{x}=x^2y^2=t^2. $$
Получаем
$$ \dfrac{50}{3}-5t-\dfrac{10}{3}t+t^2=t^2, $$
$$ \dfrac{50}{3}-\dfrac{25}{3}t=0,\qquad t=2. $$
Значит, $$xy=2.$$
Подставим в первое уравнение:
$$ \dfrac{x^3}{y}+2=5,\qquad \dfrac{x^3}{y}=3. $$
Так как $$y=\dfrac{2}{x},$$ то
$$ \dfrac{x^3}{2/x}=3,\qquad \dfrac{x^4}{2}=3,\qquad x^4=6. $$
Отсюда
$$x=\pm \sqrt[4]{6}.$$
Тогда
$$ y=\dfrac{2}{x}, $$
поэтому
$$x=\sqrt[4]{6}\Rightarrow y=\dfrac{2}{\sqrt[4]{6}},\qquad x=-\sqrt[4]{6}\Rightarrow y=-\dfrac{2}{\sqrt[4]{6}}.$$