Упр.366 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

366. 1) система
xy-x/y=6,
xy-y/x=15/2;
2) система
xy-4=7x/y,
xy-3/2=y/2x.

Подробный ответ

Решим систему
$$ \begin{cases} xy-\dfrac{x}{y}=6,\\ xy-\dfrac{y}{x}=\dfrac{15}{2}. \end{cases} $$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$ \dfrac{y}{x}-\dfrac{x}{y}=6-\dfrac{15}{2}=-\dfrac{3}{2}. $$
Умножим на $$2xy$$:
$$ 2y^2-2x^2=-3xy, $$
то есть
$$ 2x^2-3xy-2y^2=0. $$
Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x$$:
$$ 2x^2-3yx-2y^2=0. $$
Дискриминант:
$$ D=(3y)^2+4\cdot 2\cdot 2y^2=25y^2. $$
Тогда
$$ x_{1,2}=\dfrac{3y\pm 5y}{4}, $$
откуда
$$ x_1=-\dfrac{y}{2}, \qquad x_2=2y. $$
1) Если $$x=-\dfrac{y}{2}$$, то
$$ -\dfrac{y^2}{2}+\dfrac{1}{2}=6, $$
$$ y^2=-11, $$
действительных решений нет.
2) Если $$x=2y$$, то
$$ 2y^2-2=6, $$
$$ y^2=4,\qquad y=\pm 2. $$
Тогда
$$ x=2y=\pm 4. $$
Решим систему
$$ \begin{cases} xy-4=\dfrac{7x}{y},\\ xy-\dfrac{3}{2}=\dfrac{y}{2x}. \end{cases} $$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$ \dfrac{3}{2}-4=\dfrac{7x}{y}-\dfrac{y}{2x}, $$
$$ \dfrac{14x^2-y^2}{2xy}=-\dfrac{5}{2}. $$
Умножим на $$2xy$$:
$$ 14x^2-y^2=-5xy, $$
то есть
$$ 14x^2+5xy-y^2=0. $$
Рассмотрим как квадратное уравнение относительно $$y$$:
$$ y^2-5xy-14x^2=0. $$
Дискриминант:
$$ D=(5x)^2+4\cdot 14x^2=81x^2. $$
Тогда
$$ y_{1,2}=\dfrac{5x\pm 9x}{2}, $$
откуда
$$ y_1=-2x,\qquad y_2=7x. $$
1) Если $$y=-2x$$, то
$$ x\cdot(-2x)-4=\dfrac{7x}{-2x}, $$
$$ -2x^2-4=-\dfrac{7}{2}, $$
$$ x^2=-\dfrac{1}{4}, $$
действительных решений нет.
2) Если $$y=7x$$, то
$$ x\cdot 7x-4=\dfrac{7x}{7x}, $$
$$ 7x^2-4=1, $$
$$ 7x^2=5,\qquad x=\pm \dfrac{\sqrt{35}}{7}. $$
Тогда
$$ y=7x=\pm \sqrt{35}. $$