Упр.357 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

357. 1) система
x2+y2=74,
x+y=12;
2) система
x2-y2=32,
x-y=4;
3) система
x2+y2=10,
x+y=4;
4) система
x2-y2=16,
x-y=1.

Подробный ответ

$$\begin{cases} x^2+y^2=74,\\ x+y=12 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=12-x.$$
Подставим в первое:
$$ x^2+(12-x)^2=74 $$
$$ x^2+144-24x+x^2=74 $$
$$ 2x^2-24x+70=0 $$
$$ x^2-12x+35=0 $$
$$ (x-5)(x-7)=0 $$
Отсюда $$x=5$$ или $$x=7$$.
Тогда $$y=12-5=7$$ или $$y=12-7=5$$.
Получаем решения: $$ (5;7) $$ и $$ (7;5) $$.
$$\begin{cases} x^2-y^2=32,\\ x-y=4 \end{cases}$$
Используем формулу разности квадратов:
$$x^2-y^2=(x-y)(x+y).$$
Тогда
$$ (x-y)(x+y)=32 $$
$$ 4(x+y)=32 $$
$$ x+y=8 $$
Решаем систему
$$ \begin{cases} x-y=4,\\ x+y=8 \end{cases} $$
Складываем уравнения:
$$2x=12,\quad x=6.$$
Тогда $$y=6-4=2.$$
Ответ: $$ (6;2) $$.
$$\begin{cases} x^2+y^2=10,\\ x+y=4 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=4-x.$$
Подставим в первое:
$$ x^2+(4-x)^2=10 $$
$$ x^2+16-8x+x^2=10 $$
$$ 2x^2-8x+6=0 $$
$$ x^2-4x+3=0 $$
$$ (x-1)(x-3)=0 $$
Отсюда $$x=1$$ или $$x=3$$.
Тогда $$y=4-1=3$$ или $$y=4-3=1$$.
Получаем решения: $$ (1;3) $$ и $$ (3;1) $$.
$$\begin{cases} x^2-y^2=16,\\ x-y=1 \end{cases}$$
Используем формулу разности квадратов:
$$x^2-y^2=(x-y)(x+y).$$
Тогда
$$ (x-y)(x+y)=16 $$
$$ 1\cdot(x+y)=16 $$
$$ x+y=16 $$
Решаем систему
$$ \begin{cases} x-y=1,\\ x+y=16 \end{cases} $$
Складываем уравнения:
$$2x=17,\quad x=8{,}5.$$
Тогда $$y=8{,}5-1=7{,}5.$$
Ответ: $$ (8{,}5;7{,}5) $$.