Упр.356 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 356.Найти пятый член разложения бинома (a/корень x + корень x/a)m, если коэффициент третьего члена равен 66. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 356 1012

В данном биномe

$$\left(\frac{a}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{a}\right)^m$$

третий член разложения равен

$$T_3=C_m^2=66.$$

Тогда

$$C_m^2=\frac{m(m-1)}{2}=66,$$

откуда

$$m(m-1)=132,$$

$$m^2-m-132=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=1+4\cdot132=529,$$

$$m=\frac{1\pm 23}{2}.$$

Получаем

$$m_1=12,\quad m_2=-11.$$

Так как показатель степени должен быть натуральным, берём $$m=12.$$

Найдём пятый член разложения:

$$T_5=C_{12}^4\left(\frac{a}{\sqrt{x}}\right)^8\left(\frac{\sqrt{x}}{a}\right)^4.$$

Вычислим:

$$C_{12}^4=\frac{12!}{4!\,8!}=495,$$

$$\left(\frac{a}{\sqrt{x}}\right)^8\left(\frac{\sqrt{x}}{a}\right)^4=\frac{a^8}{x^4}\cdot\frac{x^2}{a^4}=\frac{a^4}{x^2}.$$

Следовательно,

$$T_5=495\cdot\frac{a^4}{x^2}.$$

Ответ

$$495\frac{a^4}{x^2}$$