Упр.354 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 354. Найти член разложения бинома (корень 3 степени x + 1/корень x)12, содержащий 1/x. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 354 1012

Решение

Общий член разложения бинома

$$\left(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{12}$$

имеет вид

$$T_{n+1}=C_{12}^n\left(\sqrt[3]{x}\right)^{12-n}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^n.$$

Преобразуем степень при $x$:

$$T_{n+1}=C_{12}^n \cdot x^{\frac{12-n}{3}} \cdot x^{-\frac{n}{2}}=C_{12}^n \cdot x^{4-\frac{n}{3}-\frac{n}{2}}=C_{12}^n \cdot x^{4-\frac{5n}{6}}.$$

Нужен член, содержащий $$\frac{1}{x}=x^{-1},$$ значит

$$4-\frac{5n}{6}=-1.$$

Отсюда

$$\frac{5n}{6}=5,\qquad n=6.$$

Следовательно, искомый член разложения:

$$T_7=C_{12}^6\cdot \frac{1}{x}.$$

Ответ

$$\frac{C_{12}^6}{x}$$