Упр.351 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1)( корень 3 + корень 4 степени 5)124;
2)(корень 2 + корень 4 степени 3)100?

1) В разложении бинома $$\left(\sqrt{3}+\sqrt[4]{5}\right)^{124}$$ общий член имеет вид

$$T_{n+1}=C_{124}^n(\sqrt{3})^{124-n}\left(\sqrt[4]{5}\right)^n.$$

Чтобы этот член был рациональным, показатели степеней при корнях должны быть целыми числами:

$$124-n \equiv 0 \pmod 2,\qquad n \equiv 0 \pmod 4.$$

Пусть $$n=4k.$$ Тогда

$$0\le 4k\le 124 \Rightarrow 0\le k\le 31.$$

Значит, рациональных членов будет

$$31-0+1=32.$$

2) В разложении $$\left(\sqrt{2}+\sqrt[4]{3}\right)^{100}$$ общий член равен

$$T_{n+1}=C_{100}^n(\sqrt{2})^{100-n}\left(\sqrt[4]{3}\right)^n.$$

Для рациональности нужно, чтобы

$$100-n \equiv 0 \pmod 2,\qquad n \equiv 0 \pmod 4.$$

Пусть $$n=4k.$$ Тогда

$$0\le 4k\le 100 \Rightarrow 0\le k\le 25.$$

Следовательно, рациональных членов

$$25-0+1=26.$$

Ответ

1) $$32$$; 2) $$26$$.