Упр.349 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1. Найти пятый член разложения: а) $$(\sqrt{x}+x)^{10}$$; б) $$\left(x-\frac{1}{x}\right)^{13}$$; в) $$(2+\sqrt{x})^9$$.

1. Найдём пятый член разложения бинома $$\left(\sqrt{x}+x\right)^{10}$$.

   По формуле общего члена бинома:

   $$T_5=C_{10}^{4}\cdot (\sqrt{x})^{10-4}\cdot x^4=C_{10}^{4}\cdot (\sqrt{x})^6\cdot x^4.$$

   Так как $$(\sqrt{x})^6=x^3,$$ то

   $$T_5=C_{10}^{4}\cdot x^3\cdot x^4=C_{10}^{4}x^7.$$

   $$C_{10}^{4}=\frac{10!}{4!\,6!}=210,$$

   значит,

   $$T_5=210x^7.$$

2. Найдём пятый член разложения $$\left(x-\frac{1}{x}\right)^{13}.$$

   $$T_5=C_{13}^{4}\cdot x^{13-4}\cdot \left(-\frac{1}{x}\right)^4=C_{13}^{4}\cdot x^9\cdot \frac{1}{x^4}.$$

   Тогда

   $$T_5=C_{13}^{4}x^5.$$

   $$C_{13}^{4}=\frac{13!}{4!\,9!}=715,$$

   следовательно,

   $$T_5=715x^5.$$

3. Найдём пятый член разложения $$\left(2+\sqrt{x}\right)^9.$$

   $$T_5=C_{9}^{4}\cdot 2^{9-4}\cdot (\sqrt{x})^4.$$

   Так как $$(\sqrt{x})^4=x^2,$$ то

   $$T_5=C_{9}^{4}\cdot 2^5\cdot x^2.$$

   $$C_{9}^{4}=\frac{9!}{4!\,5!}=126,$$

   значит,

   $$T_5=126\cdot 32x^2=4032x^2.$$

Ответ

1) $$210x^7$$; 2) $$715x^5$$; 3) $$4032x^2$$.