Упр.347 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 347 Доказать тождество (х + у)5 — х5 — у5 = 5ху(х + y)(x2 + ху + у2). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 347 1012

Раскроем скобки по формуле бинома Ньютона:

$$ (x+y)^5=x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5. $$

Тогда

$$ (x+y)^5-x^5-y^5=5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4. $$

Вынесем общий множитель $$5xy$$:

$$ 5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4=5xy(x^3+2x^2y+2xy^2+y^3). $$

Сгруппируем слагаемые:

$$ x^3+2x^2y+2xy^2+y^3=(x^3+x^2y)+(xy^2+y^3)+x^2y+xy^2 $$

удобнее записать так:

$$ x^3+2x^2y+2xy^2+y^3=(x+y)(x^2+xy+y^2). $$

Следовательно,

$$ (x+y)^5-x^5-y^5=5xy(x+y)(x^2+xy+y^2). $$

Ответ

$$ (x+y)^5-x^5-y^5=5xy(x+y)(x^2+xy+y^2). $$