Упр.346 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) Р(х, у) = 15х4 — 8x3y + 31х2y2 — 16ху3 + 2y4;
2) Р(х, y) = 12х5 — 32х4у + 9х8y2 + 16х2y3 — 3ху4 — 2у5.

1. Положим $$y=tx$$. Тогда

   $$P(x,tx)=15x^4-8tx^4+31t^2x^4-16t^3x^4+2t^4x^4=x^4(2t^4-16t^3+31t^2-8t+15).$$

   Разложим многочлен на множители:

   $$2t^4-16t^3+31t^2-8t+15=(t-3)(t-5)(2t^2+1).$$

   Тогда

   $$P(x,y)=x^4\left(\frac{y}{x}-3\right)\left(\frac{y}{x}-5\right)\left(2\frac{y^2}{x^2}+1\right).$$

   Умножая множители на соответствующие степени $x$, получаем

   $$P(x,y)=(y-3x)(y-5x)(2y^2+x^2).$$

2. Положим $$y=tx$$. Тогда

   $$P(x,tx)=12x^5-32tx^5+9t^2x^5+16t^3x^5-3t^4x^5-2t^5x^5=-x^5(2t^5+3t^4-16t^3-9t^2+32t-12).$$

   Разложим многочлен:

   $$2t^5+3t^4-16t^3-9t^2+32t-12=(t-1)(t-2)(t+2)(t+3)(2t-1).$$

   Следовательно,

   $$P(x,y)=-x^5\left(\frac{y}{x}-1\right)\left(\frac{y}{x}-2\right)\left(\frac{y}{x}+2\right)\left(\frac{y}{x}+3\right)\left(2\frac{y}{x}-1\right).$$

   После приведения к многочленам от $x$ и $y$ получаем

   $$P(x,y)=(x-y)(y-2x)(y+2x)(y+3x)(2y-x).$$

Ответ

1) $$P(x,y)=(y-3x)(y-5x)(2y^2+x^2);$$

2) $$P(x,y)=(x-y)(y-2x)(y+2x)(y+3x)(2y-x).$$