Упр.345 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 345. Пусть х1, х2, х3 — корни уравнения х8 + рх + q — 0. Доказать, что x1^3 + х2^3 + x3^3 = 3x1x2x3. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 345 1012

По формулам Виета для уравнения $$x^3+px+q=0$$ имеем:

$$x_1+x_2+x_3=0,$$

$$x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=p,$$

$$x_1x_2x_3=-q.$$

Возведём в куб сумму корней:

$$ (x_1+x_2+x_3)^3=x_1^3+x_2^3+x_3^3+3x_1^2(x_2+x_3)+3x_2^2(x_1+x_3)+3x_3^2(x_1+x_2)+6x_1x_2x_3. $$

Так как $$x_1+x_2+x_3=0,$$ то

$$ 0=x_1^3+x_2^3+x_3^3+3x_1^2(x_2+x_3)+3x_2^2(x_1+x_3)+3x_3^2(x_1+x_2)+6x_1x_2x_3. $$

Подставим $$x_2+x_3=-x_1,$$ $$x_1+x_3=-x_2,$$ $$x_1+x_2=-x_3$$:

$$ 0=x_1^3+x_2^3+x_3^3-3x_1^3-3x_2^3-3x_3^3+6x_1x_2x_3. $$

Тогда

$$ 2x_1^3+2x_2^3+2x_3^3=6x_1x_2x_3, $$

откуда

$$ x_1^3+x_2^3+x_3^3=3x_1x_2x_3. $$

Ответ

$$x_1^3+x_2^3+x_3^3=3x_1x_2x_3.$$