Упр.344 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 344. При каких значениях а и b многочлен а(х4 + у4 + х2у2) + + bху(х2 — у2) + y4 делится на (х + у)(2х — у)? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 344 1012

Пусть

$$P(x,y)=a(x^4+y^4+x^2y^2)+bxy(x^2-y^2)+y^4.$$

Если многочлен делится на $$(x+y)(2x-y)$$, то он обращается в нуль при $$y=-x$$ и при $$y=2x$$.

1) Подставим $$y=-x$$:

$$ P(x,-x)=a(x^4+x^4+x^4)+bx(-x)\bigl(x^2-(-x)^2\bigr)+(-x)^4. $$

Так как $$x^2-(-x)^2=0$$, получаем

$$ P(x,-x)=3ax^4+x^4=x^4(3a+1). $$

Следовательно,

$$3a+1=0,\qquad a=-\frac13.$$

2) Подставим $$y=2x$$:

$$ P(x,2x)=a(x^4+16x^4+4x^4)+bx\cdot 2x\,(x^2-4x^2)+16x^4. $$

Тогда

$$ P(x,2x)=21ax^4-6bx^4+16x^4=x^4(21a-6b+16). $$

Значит,

$$21a-6b+16=0.$$

Подставим $$a=-\frac13$$:

$$ 21\left(-\frac13\right)-6b+16=0 $$

$$ -7-6b+16=0 $$

$$ 6b=9,\qquad b=\frac32. $$

Ответ

$$a=-\frac13,\quad b=\frac32.$$