Упр.342 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 342. Решить уравнение х3 + 3 корень 2×2 + 5х + корень 2 = 0, если известно, что произведение двух его корней равно 1. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 342 1012

Обозначим корни уравнения через $$x_1, x_2, x_3.$$ По формулам Виета для уравнения

$$x^3+3\sqrt{2}x^2+5x+\sqrt{2}=0$$

имеем:

$$x_1+x_2+x_3=-3\sqrt{2},$$

$$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=5,$$

$$x_1x_2x_3=-\sqrt{2}.$$

По условию произведение двух корней равно $$1$$. Пусть

$$x_1x_2=1.$$

Тогда из формулы для произведения всех корней получаем

$$x_3=\frac{-\sqrt{2}}{x_1x_2}=-\sqrt{2}.$$

Теперь из суммы корней:

$$x_1+x_2-\sqrt{2}=-3\sqrt{2},$$

$$x_1+x_2=-2\sqrt{2}.$$

Следовательно, числа $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения

$$t^2-(x_1+x_2)t+x_1x_2=0,$$

то есть

$$t^2+2\sqrt{2}\,t+1=0.$$

Решим его:

$$D=(2\sqrt{2})^2-4=8-4=4,$$

$$t=\frac{-2\sqrt{2}\pm 2}{2}=-\sqrt{2}\pm 1.$$

Значит, два корня уравнения:

$$x_1=-\sqrt{2}-1,\quad x_2=1-\sqrt{2},\quad x_3=-\sqrt{2}.$$

Ответ

$$-1-\sqrt{2},\; -\sqrt{2},\; 1-\sqrt{2}.$$