Упр.341 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 340 Составить уравнение четвёртой степени со старшим коэффициентом, равным 1, корни которого противоположны корням уравнения х4 + 2х3 — 16х2 — 2х + 15 = 0. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 341 1012

Пусть корни данного уравнения равны $$x_1, x_2, x_3, x_4.$$ Тогда по теореме Виета для уравнения

$$x^4+2x^3-16x^2-2x+15=0$$

имеем:

$$x_1+x_2+x_3+x_4=-2,$$

$$x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=-16,$$

$$x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=2,$$

$$x_1x_2x_3x_4=15.$$

Пусть теперь корни искомого уравнения противоположны данным, то есть

$$y_1=-x_1,\quad y_2=-x_2,\quad y_3=-x_3,\quad y_4=-x_4.$$

Тогда:

$$y_1+y_2+y_3+y_4=-(x_1+x_2+x_3+x_4)=2,$$

$$y_1y_2+y_1y_3+y_1y_4+y_2y_3+y_2y_4+y_3y_4=$$

$$=x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=-16,$$

$$y_1y_2y_3+y_1y_2y_4+y_1y_3y_4+y_2y_3y_4=$$

$$=-(x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4)=-2,$$

$$y_1y_2y_3y_4=x_1x_2x_3x_4=15.$$

По формулам Виета искомое уравнение:

$$y^4-2y^3-16y^2+2y+15=0.$$

Ответ

$$x^4-2x^3-16x^2+2x+15=0.$$