Упр.340 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 340. Составить кубическое уравнение со старшим коэффициентом, равным 1, корни которого противоположны корням уравнения х3 — 2х2 — х + 2 = 0. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 340 1012

Пусть корни данного уравнения $$x^3-2x^2-x+2=0$$ равны $$x_1,\;x_2,\;x_3.$$ Тогда по формулам Виета:

$$x_1+x_2+x_3=2,$$

$$x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=-1,$$

$$x_1x_2x_3=-2.$$

Требуется составить уравнение, корни которого противоположны данным, то есть

$$y_1=-x_1,\quad y_2=-x_2,\quad y_3=-x_3.$$

Тогда

$$y_1+y_2+y_3=-(x_1+x_2+x_3)=-2,$$

$$y_1y_2+y_2y_3+y_1y_3=x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=-1,$$

$$y_1y_2y_3=-x_1x_2x_3=2.$$

Следовательно, искомое кубическое уравнение со старшим коэффициентом, равным 1, имеет вид:

$$y^3-(y_1+y_2+y_3)y^2+(y_1y_2+y_2y_3+y_1y_3)y-y_1y_2y_3=0,$$

то есть

$$y^3+2y^2-y-2=0.$$

Ответ

$$x^3+2x^2-x-2=0.$$