Упр.336 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) разность квадратов корней уравнения x2+px + q = 0;
2) сумму и разность кубов корней уравнения х2 + рх + q = 0.

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2+px+q=0$$. Тогда по теореме Виета

$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.$$

1) Разность квадратов корней.

Используем формулу разности квадратов:

$$x_1^2-x_2^2=(x_1-x_2)(x_1+x_2).$$

Найдём $$x_1-x_2$$:

$$ (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=p^2-4q, $$

значит

$$x_1-x_2=\pm\sqrt{p^2-4q}.$$

Тогда

$$ x_1^2-x_2^2=(\pm\sqrt{p^2-4q})(-p)=\mp p\sqrt{p^2-4q}. $$

Следовательно, разность квадратов корней выражается так:

$$x_1^2-x_2^2=\pm p\sqrt{p^2-4q}.$$

2) Сумма и разность кубов корней.

Сумма кубов:

$$ x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2). $$

Так как

$$ x_1^2-x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=p^2-3q, $$

то

$$ x_1^3+x_2^3=(-p)(p^2-3q)=3pq-p^3. $$

Разность кубов:

$$ x_1^3-x_2^3=(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2). $$

Причём

$$ x_1^2+x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-x_1x_2=p^2-q. $$

Тогда

$$ x_1^3-x_2^3=\pm\sqrt{p^2-4q}\,(p^2-q). $$

Ответ

$$x_1^2-x_2^2=\pm p\sqrt{p^2-4q},$$

$$x_1^3+x_2^3=3pq-p^3,$$

$$x_1^3-x_2^3=\pm (p^2-q)\sqrt{p^2-4q}.$$