Упр.335 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 335. Составить квадратное уравнение, корни которого были бы обратны корням уравнения ах2 + bх + с = 0. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 335 1012

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$ax^2+bx+c=0$$. Тогда по теореме Виета

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}, \qquad x_1x_2=\frac{c}{a}.$$

Требуется составить уравнение, корни которого обратны данным. Обозначим их через

$$y_1=\frac{1}{x_1}, \qquad y_2=\frac{1}{x_2}.$$

Найдём сумму и произведение новых корней:

$$y_1+y_2=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=-\frac{b}{c},$$

$$y_1y_2=\frac{1}{x_1x_2}=\frac{1}{\frac{c}{a}}=\frac{a}{c}.$$

Тогда искомое квадратное уравнение:

$$y^2-\left(y_1+y_2\right)y+y_1y_2=0,$$

то есть

$$y^2+\frac{b}{c}y+\frac{a}{c}=0.$$

Умножим на $$c$$:

$$cy^2+by+a=0.$$

Если обозначить переменную снова через $$x$$, получаем искомое уравнение:

$$cx^2+bx+a=0.$$

Ответ

$$cx^2+bx+a=0.$$