Упр.334 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1. Не решая данное уравнение, составить квадратное уравнение, корни которого обратны корням уравнения $$x^2-6x-7=0$$.

Пусть корни уравнения $$x^2-6x-7=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета:

$$x_1+x_2=6,\qquad x_1x_2=-7.$$

Обозначим корни искомого уравнения через $$y_1=\frac{1}{x_1}$$ и $$y_2=\frac{1}{x_2}$$. Тогда

$$y_1+y_2=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{6}{-7}=-\frac{6}{7},$$

$$y_1y_2=\frac{1}{x_1x_2}=\frac{1}{-7}=-\frac{1}{7}.$$

Составим квадратное уравнение с такими корнями:

$$y^2-(y_1+y_2)y+y_1y_2=0,$$

то есть

$$y^2+\frac{6}{7}y-\frac{1}{7}=0.$$

Умножим на $$7$$:

$$7y^2+6y-1=0.$$

Ответ

$$7x^2+6x-1=0.$$