Упр.333 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 333. Доказать, что многочлен (хn-1 — 1)(xn — 1)(xn+ 1 — 1), где n принадлежит N, делится на произведение (х — 1)(х2 — 1)(х3 — 1). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 333 1012

Подробный ответ

Рассмотрим произведение

$$\bigl(x^{n-1}-1\bigr)\bigl(x^n-1\bigr)\bigl(x^{n+1}-1\bigr).$$

Среди чисел $$n-1,\; n,\; n+1$$ одно обязательно делится на $$3$$, а два из них — на $$2$$. Значит, среди показателей есть число, кратное $$3$$, и два числа, кратные $$2$$.

Тогда соответствующие множители делятся на

$$x^3-1 \quad \text{и} \quad x^2-1,$$

а также каждый из множителей имеет вид $$x^k-1$$, поэтому произведение содержит множитель $$x-1$$.

Следовательно, всё произведение делится на

$$\bigl(x-1\bigr)\bigl(x^2-1\bigr)\bigl(x^3-1\bigr).$$

Что и требовалось доказать.